Evaluar la integral
\[ \int \sec^4 x \; dx \]
Escribe el integrando \( \sec^4 x \) como el producto \( \sec^2 x \sec^2 x \)
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int \sec^2 x \; \sec^2 x \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sec^2 x = \tan^2 x + 1 \) para escribir la integral de la siguiente manera
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int (\tan^2 x + 1) \sec^2 x \; dx \]
Expande el integrando y reescribe la integral como una suma de integrales
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int \tan^2 x \sec^2 x \; dx + \int \sec^2 x \; dx \]
Usa la Integración por Sustitución: Sea \( u = \tan x \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = \sec^2 x \) o \( dx = \dfrac{1}{\sec^2 x} du \) para escribir
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int u^2 \sec^2 x \dfrac{1}{\sec^2 x} du + \int \sec^2 x \; dx \]
Simplifica
\[ \int \sec^4 x \; dx = \int u^2 du + \int \sec^2 x \; dx \]
Evalúa usando las fórmulas integrales \( \displaystyle \int u^2 du = (1/3) u^3 \) y la integral común \( \displaystyle \int \sec^2 x \; dx = \tan x\) para escribir
\[ \int \sec^4 x \; dx = \dfrac{1}{3} u^3 + \tan x + c \]
Sustituye de vuelta \( \displaystyle u = \tan x \) para obtener la respuesta final
\[ \boxed { \int \sec^4 x \; dx = \dfrac{1}{3} \tan^3 x + \tan x + c } \]
